Uniswap LP“被迫”致富
1 問題
10月14日，Charlie Noyes在Twitter上發布了一個他和Dan Robinson一直在辯論的問題：對於任何Uniswap的交易對，最佳費用是多少？這種最佳費用能否超過未重新平衡的投資組合實現“無暫時性虧損”甚至是超預期的增長？
1.1 基礎規則
自動化的做市商AMM是一種去中心化的交易機制，可以讓用戶在交易像USDC、ETH等的鏈上資產。
Uniswap是以太坊上最受歡迎的AMM。像大多數AMM一樣，Uniswap通過持有兩種資產的儲備來實現交易對之間的兌換。並儲備量確定交易價格，使價格與大盤保持一致。
為“資金池”提供流動性的人稱為“LP”，LP為其他用戶提供了流動資產以進行交易。 LP需要同時注入兩種資產，承擔了交易風險以換取一部分Uniswap的收益。
1.2 問題設定
問題在於，資金池是在資金和另一種價格會隨機波動的資產之間提供流動性。更殘酷的假設是，所有的交易幾乎都是套利交易—只有當AMM的價格超出市場水平時才會發生。
換句話說，每筆交易都會導致資金池中的資金虧損。
1.3 一般情況
乍一看，這種情況會成為Uniswap的LP的代價高昂的錯誤。
因為做市商要求的買入價低於賣出價，所以當資產價格不動時，做市商直接獲利，他們得到的買入和賣出量大致平衡。這些交易通常被稱為“不知情”交易，因為它們與短期價格變動沒有關聯。
另一方面，做市商在價格下跌之前買入，或在上漲之前賣出，都會虧損。因此，做市商最擔心的交易對手之一就是套利者，套利者只有在價格發生變化時才進行交易。套利者的每筆交易對其來說都是純利潤，對於做市商來說則純虧損。
由於Uniswap中沒有不知情的交易（實際上每筆交易都是套利交易），因此LP顯然會損失慘重。
甚至可以懷疑，對於一些潛在的價格波動，作為Uniswap的LP在每一筆交易中都會被套牢。
2 解決方案
如果一項資產相對於其平均回報率的波動性足夠高，那麼隨著時間的推移，Uniswap上的LP將比HODLer收益更好，即使進場的只有套利交易。
這是由於一種稱為“波動性收益”的現象造成的：在某些條件下，通過週期性地對兩種資產進行再平衡，它們的表現有可能超過任何靜態投資組合。在這種情況下，“再平衡”是指通過交易使每項資產中持有的比例返回到固定的50/50。
因此，當他們被套利時，LP會向市場支付一筆費用，為他們重新平衡投資組合。在這個特殊的數字設置中，這種再平衡是有益的，可以希望盡可能多地這樣做。這意味著LP應將其費用（決定發生再平衡的價格敞口）設置為盡可能低而不為零。
這對於Uniswap來說是個好消息，因為這意味著即使在套利交易占主導的情況下，低費用仍然是有意義的，這使Uniswap在鏈上訂單不斷增加並開始提供更小的價差時保持競爭力。
也就是說，值得強調的是，這些結果適用於非常特殊的程式化數字設置，其中涉及的假設與Black-Scholes期權定價模型的假設非常相似。
2.1 比較標準
我們通過比較不同策略的“漸近財富增長率”來評估它們，這些“漸進財富增長率”衡量了它們在很長一段時間內增值（或貶值）的速度。
我們將所有策略與“非再平衡投資組合”進行比較，“非再平衡投資組合”一半是現金形式，一半是持有風險資產形式，並保持不變。這意味著，在最壞的情況下，當風險資產喪失其全部價值時，“非再平衡資產組合”將幾乎全部由現金組成，從長遠來看其增長率為零。另一方面，如果風險資產呈指數增長，它將很快在“非再平衡投資組合”中佔據主導地位，因此其增長率與風險資產相同。
值得注意的是，兩種資產可以共享相同的“漸近財富增長率”，但表現的差異也很大。例如，如果風險資產的增長率為零，那麼享有零手續費的Uniswap價值將始終低於“非再平衡投資組合”，但由於預期兩者都不會隨著時間複合增長或虧損，兩者的財富增長率都將為零。
2.2 波動阻力
波動阻力對於50％損失/ 75％收益的作用過程
要理解這些結果，首先要理解波動阻力的概念。假設每年我們的風險資產價格要么下跌75%要么上漲50%，兩者發生的概率相等。
在任何特定年份，如果我們投資$100，“期望值”是50/2+175/2=$112.5。如果只是購買並持有，投資組合預期將每年增加12.5％—這似乎是一筆不錯的交易。
不幸的是，在現實世界中，我們的利潤其實無法實現。如果我們購買並持有此組合，最終將失去一切。這是因為，隨著時間的流逝，財富增加將帶來巨大的損失。
如果第一年損失50％ ，第二年增值75％ ，第二年期末餘額將只有50％∗175％=87.5％。同樣，如果第一年收益75%，第二年虧損50%，第二年期末餘額依舊是175％∗50％=87.5％。隨著時間推移，大數定律下的內部收益率將是年化-12.5％，將不可避免地破產。
2.3 怎麼回事兒？
你可能會覺得上面的結論很奇怪甚至是錯誤的。
實際上，期望值是一個理論量，用於衡量我們在“同時”複製給定的“賭博”行為會發生什麼情況。但其實，每次“賭博”是依次進行的，結果會隨時間推移而形成。
帶入數字，當我們按照“-50％/+75％”的贏率一遍又一遍地賭博，每次都將資金再投資，期望值就會大幅增長，這主要是因為只有很少幾條路徑都能完全正確，從而帶來天文數字般的回報。但隨著時間的推移，這些路徑在所有可能路徑中所佔的比例越來越小，而我們實際看到其中一條路徑實現的機率也縮小到零。
2.4 再平衡的價值
面對波動的影響，即使期望值可能是正的投資決策，也有必要保留部分資金。這樣，當出現問題時，可以減少損失，從長遠來看會帶來複合收益。
當價格上漲時，平倉部分頭寸以鎖定利潤，以防價格再次下跌。當價格下跌時，有時有必要低價買入獲得預期的未來回報。
在某些情況下，最佳策略是不斷調整投資組合，以使將固定比例的財富投資到每個頭寸上，例如一半現金，一半風險資產。但這並不總是最佳的平衡，一般來說，你希望投資組合中的風險資產越多，其回報率相對於其波動性越高。
重新平衡長期財富增長的好處可能是巨大的，並且可能意味著盈利與破產之間的區別。即使每筆再平衡交易的價格都不利，並造成瞬時損失，結果也是如此。
2.5 煉金術
費用從0%起的資產增長率
在上面的設定中，以最小的成本更頻繁的進行再平衡，將對LP有益。因此需要將費用設置為>0%，以降低價格波動率就可以觸發再平衡。但是當費用恰好=0%時，再平衡的所有好處就會消失，並且大概率，LP要比持有非再平衡組合時的收益更差。
Uniswap使用“常數乘積”不變，這意味著在沒有費用的情況下，每筆交易必須保持儲備金餘額的乘積不變。本文表示為Rα Rβ=C ，儘管已經熟悉Uniswap的讀者可能更習慣於x*y=k。
但是，事實證明這個C 必須是數量增加的，才能使再平衡為我們提供財富增長。在免費的情況下， C會保持不變，就沒有財富增長的引擎。
在Uniswap或前文的設置中實施的非0%的費用，可確保C每筆交易都增加。 C隨時間推移增加，意味著儲備金餘額不僅在增長，而且還在保持著平衡，從而提供了收益。
3 數學
綜上所述，現在可以準確地回答Charlie Noyes提出的問題。重複說明一下，他們關注的是Uniswap一類的AMM的財富增長率，這種AMM收取1−γ 百分比的費用，在現金和一種資產之間形成市場，而這種資產的價格以幾何布朗運動的形式變動，帶有參數μ (偏移)和σ (波動率).。
3.1 LP資產的增長率
3.2 最優費用與超額收益
當且僅當μ>0 和時，成為LP比持有一半現金和一半代幣的非再平衡投資組合有更多收益。
在這種情況下，LP應將他們的費用設置為盡可能低的值而不是0%，他們的資產增長率將約為μ/2 - σ²/8。
3.3 解釋
由於“幾何布朗運動”模擬複合增長，因此它們也會受到波動阻力的影響，在數學上可以將GBM的資產增長率表示為-σ²/2：
G=μ-σ²/2
這意味著在範圍內，Uniswap上的LP對應於資產增長率為-μ
這個結果顯示，再平衡能夠抵消部分基礎資產波動性的影響。
另一方面，如果沒有波動性影響的平均收益為正：
如果波動性帶來的損失超過其平均回報的200%，Uniswap的再平衡將不能消除足夠的波動性影響，這種情況最好還是持有現金。如果波動性帶來的損失低於其平均回報的66％，那麼通過Uniswap進行再平衡來抵消波動性影響的代價將是不值得的，此時最好只是持有資產。在此範圍內，成為Uniswap的LP可以創造收益。
